モバイルアプリ開発のときにURLをブラウザで開くために使っていた『url_launcher』パッケージではうまく動作しないので、『html』パッケージを使う必要があります。

pubspec.yamlに追記します。

dependencies:
 html: ^0.14.0+4

※pub getでインストールする必要があります。

あとは、インポートして、リンクを開くメソッドを記述するだけです。

import 'dart:html' as html;

html.window.open('https://hatchout.net/', '');

これで、ブラウザの新しいタブでリンクを開くことができます。